QR 분해를 알기 위해서 직교행렬(Orthogonal Matrix)과 그람 슈미트 과정(Gram-Schmidt Process)에
대해서 알아보자.
1. 직교행렬(Orthogonal Matrix)
직교행렬은 열벡터들이 서로 직교하며 각각의 크기가 1이라는 것을 말한다.
위 식을 보면 행렬 Q는 q1,q2,q3라는 열벡터를 가지고 있고 각 열벡터들은
서로 직교하며 크기가 1인 단위벡터(Unit Vector)이다.
직교 행렬의 또하나의 특징은 전치행렬과 역행렬이 같다는 것이다.
2. 그람 슈미트 과정(Gram-schmidt Process)
이 식의 본질적인 의미는 선형 독립적인 벡터들을 서로 직교하는 벡터들로 만들어 주기 위해 각각 벡터에 서로 차지하는 성분을 빼준다는 의미다.
이 과정을 통해 서로 직교하는 벡터 집합을 찾았으면
그 다음으로는 벡터들을 정규화 시켜주어야 한다.
이렇게 정규화 까지 마무리하면 최종적으로 각각의 열벡터들이 서로직교하고 크기가 1인
행렬 Q가 만들어진다.
3. QR 분해(QR Decomposition)
QR 분해는 그람 슈미트 과정을 통해서 찾아낸 행렬 Q를 이용하여 행렬을 분해하는 과정이다.
여기서 Q는 그랑 슈미트 과정으로 나온 직교행렬이고 R은 상삼각 행렬이다.
상삼각 행렬이란 위 행렬처럼 행렬의 대각원소들의 아래 원소들이 0인 행렬을 말한다.
결과적으로 선형독립적인 벡터들이 있는 행렬 A를 분해하여 직교행렬인 Q와 상삼각 행렬인 R로 만드는 것이 QR분해이다.
QR분해는 선형 방정식의 해를 구할때, 최소 제곱법으로 해를 구할때, 고유값 및 고유벡터 계산 등을 위해 활용되는 유용한 도구이다.
참고자료
https://angeloyeo.github.io/2020/11/23/gram_schmidt.html